关于无穷大无穷小的分析

××××第二组

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【摘要】分析无穷大和无穷小

【关键词】无穷小量；无穷大量;无穷和；无穷积

无穷小量的概念

如果函数f(X)当X→X0(或X→∞)时的极限为零，那么称函数f(X)为当X→X0（或X→∞）时的无穷小.[1]

二、无穷大量的概念

设函数f(X)在X0的某一去心领域内有定义（或│X│大于某一正实数时有定义）.如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要X适合不等式0<│X-X0│<δ（或│X│>X），对应的函数值f（X）总满足不等式

│f(x)│>M，

那么称函数f(x)是当X→X0（或X→∞）时的无穷大.[2]

三、无穷和

两个无穷小的和是无穷小.

有限个无穷小的之和也是无穷小.

有限个无穷大的和还是无穷大.

常数与无穷小的和是常数.

四、无穷积

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

常数与无穷小的乘积是无穷小.

有限个无穷小的乘积是无穷小.

常数与无穷大量的和还是无穷大量.

五、小结

简单来说，无穷小量是当自变量趋近于一个数时，这个函数的值一直趋近于0，但不等于0，这就是无穷小量。无穷大量就是当自变量趋近于一个数时，这个函数的值趋近于+∞（或-∞），这就是无穷大量。我觉得无论无穷大量，还是无穷小量都不是一个固定的值，都是一个估计值。

对于无穷量之间的和，假设f(X)是无穷小，例如f(X)与f(X)+f(X)，f(X)+f(X)可以算做是两个无穷小量之间得和，f(X)+f(X)是2f(X)，所以f(X)与f(X)+f(X)是同阶无穷小，因为f(X)是无穷小，所以f(X)+f(X)也是无穷小，所以有限个无穷小的和也是无穷小；同理可得，有限个无穷大的和还是无穷大。常数与无穷小的和是常数，因为无穷小与常数相比太小了，可以忽略不计；同理，常数与无穷大量的和还是无穷大量，因为与无穷大量相比，常数太小了，也是可以忽略不计。

对于无穷量之间的积，假设f(X)是无穷小，例如f(X)与f(X)．f(X)， f(X)．f(X)可以算做是两个无穷量之间的积，f(X)．f(X)=f2（X），f2（X）是f(X)的高阶无穷小，因为f(X)是无穷小量，所以f2（X）还是无穷小，所以两个无穷小量之间的积还是无穷小；同理可得，两个无穷大量之间的积还是无穷大量。常数与无穷小量之间的积还是无穷小量，因为当常数与无穷小量相乘时，无穷小量太小了，基本上可以认为是0，所以当常数与无穷小量相乘时也是无穷小；同理无穷大量与常数相乘还是无穷大量.

参考文献

[1]高等数学[M].高等教育出版社.2014:34-35

[2]高等数学[M].高等教育出版社.2014:34-35